Zadnja posodobitev te strani: 2025-05-23

• Računstvo
  • Množice števil
    • Naravna števila
    • Cela števila
    • Racionalna števila
    • Iracionalna števila
    • Realna števila
    • Kompleksna števila
  • Množice
  • Kombinatorika
    • Razrstitve (permutacije)
    • Različice (variacije)
    • Izbori (kombinacije)
  • Verjetnost
  • Zaporedja
    • Aritmetično zaporedje
    • Geometrijsko zaporedje
  • Dvočlenik (binom)
    • Dvočlenski izrek (binomski izrek)
  • Stožnice
    • Krožnica
    • Elipsa
  • Funkcije
    • Potenciranje in logaritem
    • Kotne funkcije
    • Limita
    • Odvod in integral
  • Prostoroslovje (geometrija)
    • Trikotnik
    • Krogla

Računstvo

Množice števil

Računamo lahko v različnih množicah števil - to je stvar izbire. Tako lahko račun v neki množici nima rešitve (ki jo hočemo v tej množici), ima pa jo v neki drugi množici, vendar nas ta rešitev ne zanima, zato razglasimo, da račun v izbrani množici nima rešitve (tako je običajno npr. s koreni negativnih števil).

\[ \href{#Naravna_stevila}{\mathbb{N}} < \href{#Cela_stevila}{\mathbb{Z}} < \href{#Racionalna_stevila}{\mathbb{Q}} < \href{#Realna_stevila}{\mathbb{R}} < \href{#Kompleksna_stevila}{\mathbb{C}} \]

Naravna števila

To so (pozitivna cela) števila s katerimi štejemo (npr. 1, 2, 3, 4, 5, 6, …).

Cela števila

To so naravna števila, število 0 in nasprotne vrednosti naravnih števil - negativna cela števila (npr. 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …)

Racionalna števila

To so števila, ki jih lahko izrazimo kot razmerje dveh celih števil, oz. predstavimo z ulomki (npr. 0, 1, -1, 1/3, -1/3, …).

Iracionalna števila

To so števila, ki jih ni mogoče izraziti kot razmerje dveh celih števil, oz. predstaviti z ulomki (npr. \(\sqrt{2}\), π, e, …).

Realna števila

To so števila, ki jih lahko predstavimo na običajni številski premici (npr. 0, 1, -1, 1/3, -1/3, π, \(\sqrt{2}\), …).

Kompleksna števila

Kompleksna števila imajo realno komponento a in imaginarno komponento b: \(Z = a + b\mathrm{i}\).

\(\mathrm{i}^2 = -1\), oz. \(\sqrt{-1} = \sqrt{\mathrm{i}}\)

Množice

Potenčna množica množice A je množica njenih podmnož

ic, vključno s prazno množico. Če imamo množico A = {a, b, c, … }, je potenčna množica te množice:

P(A) = {{}, {a}, {b}, {c}, …, {ab}, {ac}, {bc}, …, {abc}, …}

Moč takšne potenčne mnoćžice, kjer je n število elementov v množici, je:

\[ m(\mathcal{P}(A)) = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + ... + \binom{n}{n} = 2^n \]

Kombinatorika

Verjetnost sestavljenega dogodka je zmnožek verjetnosti posameznih dogodkov.

Razrstitve (permutacije)

To so razporedbe n različnih elementov na n mest.

\[ P_n = n! \]

Pri razvrstitvah z r ponovitvami posameznih elementov ne upoštevamo različnih razvrstitev enakih predmetov (možnih razvrstitev je r!):

\[ P_n^{r_1, r_2, r_3, ... , r_k} = \frac {n!}{r_1! r_2! r_3! ... r_k!} \]

Pri krožni razvrstitvi ne upoštevamo možnih zasukov enake razporedbe (če ne razlikujemo mest te krožne razvrstitve):

\[ P_n = \frac {n!}{n} = (n-1)! \]

Različice (variacije)

To so razporedbe n predmetov na r mest.

Če se elementi ne smejo ponavljati (na voljo imaš le različne elemente):

\[ V_n^r = \frac {n!}{(n-r)!} \]

Če se elementi lahko ponavljajo (uporabiš lahko večkrat enake elemente):

\[ ^{(p)}V_n^r = n^r \]

Izbori (kombinacije)

To so izbori r elementov iz množice z n elementi. Pri tem vrstni red ni pomemben, zato je to pravzaprav število različic (variacij), deljeno s številom možnih razvrstitev elementov posamezne različice.

\[ C_n^r = \frac {V_n^r}{r!} = \binom {n}{r} \]

Verjetnost

Statistično/empirično se verjetnost dogodka P(A) lahko opredeli kot število, pri katerem se ustali relativna pogostost dogodka A pri velikem številu ponovitev poskusa:

\[ P(A) = \lim_{n \to \infty} f'(A) \]

Relativna pogostost dogodka A se izračuna kot pogostost dog. A f(A) na število ponovitev poskusa n:

\[ f'(A) = \frac {f(A)}{n} \]

Običajno se verjetnost opredeli kot št. ugodnih izidov m za dogodek na št. vseh izidov n:

\[ P(A) = \frac {m}{n} \]

Za elementarni dogodek v popolnem sistemu dogodkov (kjer so vsi dog. enako verjetni) je ta verjetnost \(P(E) = \frac {1}{n}\).

Zaporedja

Aritmetično zaporedje

\[ S_n = \frac {n}{2} (a_1 + a_n) \]

Geometrijsko zaporedje

\[ S_n = \frac {a_1 (k^n -1)}{k - 1} \]

V primeru, da pa velja \(k = 1\):

\[ S_n = n a_1 \]

Dvočlenik (binom)

Dvočlenik je \(a+b\).

Dvočlenski izrek (binomski izrek)

Dvočlensko znamenje je \(\binom {n}{r}\).

\[ (a+b)^n = \binom{n}{0} a^n b⁰ + \binom{n}{1} a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \binom{n}{3} a^{n-3} b^3 + ... + \binom {n}{n} b^n a^0 = \sum_{r=0}^{n} \binom {n}{r} a^{n-r} b^r \]

Splošni člen dvočlenskega izreka je torej:

\[ \binom {n}{r} a^{n-r} b^r\]

Nekaj pravil za računanje z dvočlenskim znamenjem:

\[ \binom {n}{r} = \binom {n}{n-r} \] \[ \binom {n}{0} = \binom {n}{n} = 1 \] \[ \binom {n}{r} + \binom {n}{r+1} = \binom {n+1}{r+1} \]

Stožnice

Središče S(p, q), polmer r, x-polos a in y-polos b.

Krožnica

\[ (x-p)^2 + (y-q)^2 = r^2 \]

Elipsa

\[ \frac {(x-p)^2}{a^2} + \frac {(y-q)^2}{b^2} = 1 \]

Funkcije

Ničli kvadratne funkcije: \[ x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} \]

Za kot, pod katerim funkcija seka os x velja \(\tan \varphi = k_t\). Kot med dvema funkcijama v presečišču:

\[ \tan \varphi = \left| \frac {k_{t_1} - k_{t_2}}{1 + k_{t_1} k_{t_2}} \right| \]

Potenciranje in logaritem

Pravila za računanje s potencami: \[ a^0 = 1 \] \[ a^m \cdot a^n = a^{m + n} \] \[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n} \] \[ (a^m)^n = a^{mn} \] \[ a^{-n} = (\frac{1}{a})^n \]

Potence, ki so ulomki, lahko izrazimo tudi s koreni: \[ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \]

Logaritem je obratna funkcija potenciranja.

\[ \log_a x = b \iff a^b = x \]

\[ \log_a 1 = 0 \] \[ \log_a a = 1 \]

Pravila za računanje z logaritmi:

\[ \log_a(u \cdot v) = \log_a u + \log_a v \] \[ \log_a \left( \frac{u}{v} \right) = \log_a u - \log_a v \] \[ \log_a u^v = v \cdot \log_a u \] \[ \log_a u = \frac{\log_b u}{\log_b a} \]

Kotne funkcije

\[ \sin^2x + \cos^2x = 1 \]

Limita

\[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac {1}{n} \right)^n = e \] \[ \lim_{x \to 0} \frac {\sin x}{x} = 1 \]

Odvod in integral

Odvod funkcije je funkcija naklonov te funkcije. Opredelitev odvoda:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac {f(x + h) - f(x)}{h} \]

Integral je obratna funkcija odvoda.

V spodnji preglednici so neosnovni (oz. bolj neosnovni) integrali sivo obarvani.

Pravila za računanje z integrali: \[ \int \bigl( f(x) + g(x) \bigr) \mathrm{d}x = \int f(x) \mathrm{d} x + \int g(x) \mathrm{d} x \] \[ \int k \cdot f(x) \mathrm{d} x = k \int f(x) \mathrm{d} x \]

Integracija po delih:

\[ \int u v' = u v - \int v u' \]

Prostornina telesa zavrtene zvezne funkcije okoli osi x:

\[ V = \pi \int_a^b (f(x))^2 \mathrm{d}x \]

Prostoroslovje (geometrija)

Trikotnik

Trikotnik z oglišči \(A(x_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)\), s stranicami a, b, c.

\[ S = \frac {1}{2} \left| (x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (x_3 - x_1)(y_2 - y_1) \right| \]

\[ s = \frac {a+b+c}{2} \]

Heronova enačba za ploščino trikotnika: \[ S = \sqrt{s (s - a)(s - b)(s - c)} \]

Krogla

Krogla s polmerom r.

Površina krogle je enaka obsegu kroga krat premer, kar je enako plašču valja, visokega in širokega za premer krogle.

\[ P = 2 \pi r \cdot 2 r = 4 \pi r^2 \] \[ V = \frac {4 \pi r^3}{3} \]